取締役１名の会社でその取締役が死亡してしまった場合の対応。
考えられるのは次のいずれか。

１、株主全員の同意により、株主総会のみなし決議により新しい取締役を選任する

もしくは、

２、裁判所に仮取締役の選任を申し立て、この者から株主総会総会の招集を行い、新しい取締役を選任する

なお、少数株主からの株主総会の招集は要件として「取締役に対して，株主総会の目的である事項（当該株主が議決権を行使することができる事項に限る。）及び招集の理由を示して，株主総会の招集を請求したこと（会社法297条1項）。」とあるので、取締役がいない状態では利用することができません。
http://www.courts.go.jp/osaka/saiban/minji4/dai2_7/

株主の相続人の全員の同意が取りつけられる状況であれば、手続きは容易ですが、相続人が複数の場合や連絡が取れない方がいる場合にはなかなか大変な手続きをなります。